Защо не е странно за 4 дни тотото да изтегли два пъти едни и същи числа

На 10 септември 2009 г. Българската национална лотария обяви, че печелившите числа за тази седмица са 4, 15, 23, 24, 35 и 42. Съвсем необичаен набор от цифри, бихте си помислили – само дето в тегленето 4 дни по-рано се пада абсолютно същата комбинация.

Разбира се, хората масово искат разследване, за да се разбере измамата – но така и не е установено никакво нарушение. Което, правичката да си кажем, по нашите земи никак не потушава съмненията…

Но в този случай трябва – защото се оказва, че странните съвпадения са много по-вероятни, отколкото си мислите.

Идеята резултат с вероятност 1 : 40 000 000 да се появи 2 пъти в рамките на 4 дни може да бъде малко умопомрачителна – затова нека започнем с по-прост пример. Колко голяма трябва да бъде една група от хора, за да има шанс двама от тях да имат общ рожден ден?

Може би ще се изненадате да научите, че отговорът е само 23.

Може би сте чували тази задача и преди – тя е доста известна. Всъщност се казва Парадокс на рождения ден, въпреки че в него няма нищо парадоксално – просто е неочаквано, че резултатът е толкова малко число.

От математическа гледна точка обаче той си е съвсем солиден – дори и да не изглежда така на пръв поглед. „Може би сте разсъждавали по следния начин: Има шанс само 1 : 365, че някой друг човек ще има същия рожден ден като мен. Така че има вероятност 364/365 души да имат различен рожден ден от моя“, обяснява статистикът Дейвид Ханд, почетен професор по математика и старши изследовател в Имперския колеж в Лондон, в книгата си „Принципът на невероятността: Защо съвпадения, чудеса и редки събития се случват всеки ден“ от 2014 г.

„Ако в стаята има n души, като всеки от останалите n – 1 има вероятност 364/365 да има различен рожден ден от мен, то вероятността всички n – 1 да имат различен рожден ден от мен е 364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 … × 364/365, като 364/365 се умножава заедно n – 1 пъти“, продължава той. „Ако n е 23, отговорът е 0,94.“

Вероятността 0,94 никой да не сподели вашия рожден ден е равна на вероятността 0,06 някой да сподели вашия рожден ден – а това, признава Хенд, е „много малко“. Но ето какво: „тази вероятност не е това, което се пита във въпроса.“

Виждате, че като започвате със себе си, разглеждате само малка част от възможните двойки в групата. Да, вярно е, че всеки отделен човек има 364/365 шанса да има рожден ден, различен от вашия – но въведете втори човек и картината вече става по-специална, отколкото интуицията ви може да поеме.

„Вероятността двамата човека да са с различни дати и третият да няма същия рожден ден като някой от тях е 364/365 × 363/365“, обяснява Хенд. „По същия начин вероятността тези трима да имат различни рождени дни и четвърти да не споделя един и същ рожден ден с някой от тях е 364/365 × 363/365 × 362/365.“

Ако увеличите това изчисление до 23 души, ще получите вероятност нито един от двама души да не споделя един и същи рожден ден от 0,49, което прави вероятността поне една двойка да има такъв рожден ден 0,51, или малко повече от половината.

И така, след като вече сме наясно откъде идват тези по-ниски от очакваните шансове, как да си обясним еднаквите тегления на тотото?

Първо, нека да разгледаме ситуацията: Тегленето е 6 от 49, а служителите на лотарията по онова време заявяват, че манипулирането на машините е невъзможно; тегленето „се провежда в присъствието на специална комисия и се излъчва на живо по националната телевизия, което гарантира, че няма измама“, заявяват те тогава пред Ройтерс.

Това означава, че всеки набор от 6 числа се среща 1 : 13 983 816 – резултат от уравнението по-горе.

Така че, да, предвид избора на 6 числа през септември – запомнете: 4, 15, 23, 24, 35 и 42 – вероятността точно тази комбинация да се повтори е, меко казано, изключително малка. Но както и при парадокса на рождения ден, не това е въпросът, който трябва да си задаваме.

„Шансът да съвпаднат две конкретни тегления е 1 : 13 983 816″, съгласи се Хенд. „Но какво да кажем за шанса които и да е две от три тегления да съвпаднат? Или пък шансът да съвпаднат две тегления от 50?“

В края на краищата, обяснява той, във всеки три тегления на лотарията има три потенциални начина две от тях да съвпаднат. При четири тегления има шест възможни двойки, а при пет тегления – десет. Когато стигнете до 50 тегления, има 1225 възможни двойки – а при 1000 тегления има 499 500 възможни начина два набора числа да съвпаднат.

Това значително повишава шансовете. Докато направите 4 404 тегления, всъщност е по-вероятно два тиража да съвпаднат точно – и както отбелязва Ханд, „ако всяка седмица се случват по два тиража, което прави 104 за година, това ще отнеме по-малко от 43 години“.

Така погледнато, „Когато вземем предвид броя на лотариите по света, виждаме, че би било невероятно, ако тегленията не се повтарят от време на време“, отбелязва Хенд.

Разбира се, четири дни са далеч от 43 години – но е ясно, че дублирането никога не е било толкова необичайно, колкото изглеждаше на пръв поглед. Всъщност, ако не друго, в крайна сметка това е било особено нещастно събитие: „Никой не спечели голямата награда в първото теглене“, съобщава BBC по онова време.

„Но рекордните 18 души познават всичките шест числа в тегленето на 10 септември.“