Как парадоксите разкриват недостатъците на логиката

Ако попитаме дали Земята е сферична, повечето хора ще отговорят положително и само по-педантичните биха уточнили, че тя всъщност е ротационен елипсоид. Затова технически първите – които се съгласяват с твърдението – биха грешили. Ясно е обаче, че те далеч не грешат толкова, колкото тези, който твърдят, че Земята е плоска. Съществуват степени на погрешност, които често са много важни; което вероятно предполага, че има и степени на истинност. И все пак ние често разчитаме на класическата логика, която приема само две стойности: вярно и невярно, което може да доведе до парадокси, когато някоя от двете възможности води до противоречие.

Според едно от определенията логиката е „Метод на разсъждение, който включва поредица от твърдения, всяко от които трябва да е вярно, ако предходното твърдение е вярно.“ Поставена по този начин, тази методология изглежда безупречна; всякакви неуспехи в нея могат да се дължат единствено на това, че предварителното твърдение е погрешно или че някое от последващите твърдения не следва установената закономерност.

Когато говорим за „погрешна логика“, обикновено имаме предвид някое от тези неща: някой започва с погрешно предположение и върху него изгражда куп заключения; или първоначалната предпоставка е вярна, но в някакъв момент едно от няколкото възможни следствия е сметнато за единственото възможно.

Решаването на тези грешки е очевидно, макар и не винаги лесно за изпълнение. В първия случай просто трябва да проверяваме по-добре предпоставките си, а във втория трябва да проверим всяка халка в логическата ни верига, за да се уверим, че всичко е точно.

И все пак преди хиляди години гръцките философи са поставяли по-фундаментално предизвикателство пред логиката под формата на парадокси. Парадоксите несъмнено са още много по-стари, но именно мислители като Зенон от Елея създават както самата дума, така и самата концепция за самопротиворечиви заключения от привидно здрави предпоставки като предизвикателство към природата на реалността.

Първоначалните парадокси (доколкото можем да кажем) са били създадени, за да предизвикат усещането ни за характера на света, а не за да поставят под въпрос принципите на логиката. Много парадокси, както от старите, така и по-нови, в крайна сметка се оказват в крайна сметка с доста логични решения, които просто не са били очевидни моментално. Други обаче се оказват по-тежко предизвикателство.

Според едно от определенията парадоксът е „Аргумент, който очевидно извежда самопротиворечиви заключения чрез валидна дедукция от приемливи предпоставки“.

Зенон от Елея

Разчупване на бинарната система

Други парадокси обаче представляват по-фундаментално предизвикателство, достатъчно, за да повдигне въпроси за логиката в нейната същност. Те – известни като антиномии – се сблъскват не само с нашите наблюдения, но и със собствената си вътрешна логика.

Някои, а може би и всички антиномии, произтичат от бинарното виждане за света. Например една от най-известните, Парадоксът на лъжеца, се съдържа в простото изречение „Това твърдение е грешно“.

Ако вярваме, че нещата могат да бъдат само верни или неверни, подобно на единиците и нулите на компютъра, тогава твърдението генерира един вид рекурсивен цикъл, който очарова хората от векове.

Въпреки това някои философски традиции, особено тези от Азия, се чувстват по-комфортно с идеята, че истината може да бъде спектър, за разлика от европейската, която е изградена в голяма степен върху класическа Гърция.

Векове преди Аристотел да формализира правилата на логиката, на които Западът до голяма степен разчита оттогава, джайнистите развиват учението за Анекантавада, според което всички твърдения съдържат както истина, така и лъжа.

Вероятно възходът на квантовите компютри – в които един бит може да е в суперпозиция, тоест и 1, и 0 едновременно – оправдава тези алтернативни възгледи. В основата на много логически парадокси стои убеждението, че нещо е или едно, или друго. Това схващане се разпада почти изцяло на субатомно ниво, където фотоните са едновременно частици и вълни, но не винаги се запазва толкова добре в по-познати контексти, както може да илюстрира първоначалният пример с формата на Земята.

Известният въпрос дали чашата е наполовина пълна или наполовина празна подсказва друг пример. И двете неща са верни, но в кой момент можем да се откажем от „половината“ и да кажем: „Чаша е празна“? Трябва ли чашата да е съвсем суха, или няколко капки все още се считат за „празна“?

Размитата логика (истински термин) е измислена, за да се направи опит да се обхване този тип сложност, като позволява истинността на дадено твърдение да бъде между единица и нула, тоест между истна и лъжа.

Вероятно реалното вземане на решения от хората има повече общо с размитата логика, отколкото с бинарната.

Но въпреки че размитата логика се използва в изкуствения интелект и анализа на медицински изображения, наред с други приложения, тя не е близо до това да измести класическата версия в повечето образователни системи или приложения.

Може би това се дължи на факта, че веднъж установени културните традиции много трудно се променят. От друга страна, може да се твърди, че традиционната логика все още има много предимства.

Победа за логиката ли са решените парадокси

Парадоксите се срещат в много форми и не всички от тях представляват проблем за логиката, а много от тях дори я оправдават. По-често противоречията в парадоксите са с наблюдаваната реалност, отколкото с тях самите – и често се разрешават чрез съчетаване на логиката с по-задълбочено изследване.

Например някои парадокси са се оказвали полезни начини да разкрием, че реалността е по-сложна, отколкото наивно предполагаме. Други са свързани с някаква хитрост, като например делението на нула, за да се „докаже“, че 1=2.

Един от оригиналните парадокси, представен от Зенон (перифразиран от Аристотел и други), описва крайно несправедливото състезание между Ахил и костенурка. В него Ахил спортсменски дава преднина на своя противник и се казва, че при условие, че състезанието е достатъчно дълго, по-бързият бегач в крайна сметка ще изпревари по-бавния. Въпреки това, твърди Зенон, докато Ахил достигне точката, от която е тръгнала костенурката, костенурката ще е спечелила известно разстояние, а докато Ахил премине това второ разстояние, костенурката ще се е придвижила на още по-малко разстояние. И така, и така… Ахил постоянно ще настига костенурката, но никога няма да я изпревари.

Аристотел дава отговор, но опасенията, че той е неизчерпателен, помагат за изучаването на безкрайните числови редици, което се оказва изключително ценно за науката.

Не всички обаче са доволни от тези математически решения, а някои дори смятат, че това е все още нерешен метафизичен проблем. Ето обяснението за който разбира английски език.

По подобен начин парадоксът защо нощното небе е тъмно, щом Вселената е пълна със звезди е използван, за да се докаже, че Вселената не е безкрайна, въпреки че впоследствие научихме, че тя се разширява.

Има и други парадокси, за които все още нямаме пълни решения, но учените са на път да ги разнищят. Например, парадоксът за слабото младо слънце, според който звездите с маси като тази на Слънцето излъчват по-малко топлина и светлина през първия си 1 милиард години, отколкото тези на сегашната възраст на Слънцето.

Според първоначалната форма на парадокса, Земята би трябвало да е била много по-студена по време на хадейския еон, което не би позволило наличието на течна вода. Въпреки това знаем, че океаните на Земята датират отпреди 4,4 милиарда години. По-голямото количество въглероден диоксид и следователно по-силен парников ефект до голяма степен са разрешили този проблем за Земята, но той продължава да притеснява изследователите на Марс. Обяснението на това какви газове биха могли да съставляват марсианската атмосфера през ноахийската епоха и къде са отишли, все още е проблем, но той е проблем, който можем да очакваме да бъде решен, без да заклеймяваме логиката като нещо счупено.

Може би в крайна сметка трябва да измислим дума (може би метапарадокс) за факта, че парадоксите могат едновременно да разкрият недостатъците на класическата логика и да демонстрират нейната сила.