Колко голяма маса ви е необходима за редене на конкретен пъзел – ето формула
Отговорът идва, изненадващо, не от математици, а от един биофизик и един експериментален квантов физик. „Един ден със съпруга ми редихме пъзел – разказва пред New Scientist Мадлен Бонсма-Фишър, докторант в Университета в Торонто, – и се зачудих дали може да се прецени площта, която заемат парчетата, преди да се сглоби пъзелът.“
Резултатът е малък, спретнат труд, дълъг едва шест страници, в който концепцията за оптимално подреждане на кръгове се прилага към любимото занимание на мнозина – реденето на пъзели. (Трябва да отбележим, че макар и да е само препринт и поради това да не е рецензирана, геометричните изчисления, използвани в статията, са доста елементарни и е малко вероятно да са погрешни.)
Еднакви кръгове в шестоъгълна подредба, най-плътната възможна
„Хората отдавна се интересуват от подреждането на кръгове в двуизмерни равнини – казва Бонсма-Фишър пред Popular Mechanics, – и сега е известно, че подреждането на кръгове в шестоъгълна решетка е най-плътният възможен начин за подреждането им върху 2D повърхност, където целта е да има възможно най-малки пространства между тях.“
„Това е и причината пчелните пити да са оформени по този начин“, посочва тя. „Пчелите всъщност създават кръгли клетки, но те преливат в шестоъгълна решетка.“
Идеята е следната: за да може на една маса да се остави всяко парче от пъзела, тя трябва да е достатъчно голяма, за да побере този брой кръгове. Това може да звучи странно – в края на краищата парчетата на пъзела по принцип не са кръгли. Да. но Бонсма-Фишер търси не абсолютната минимална площ, необходима за поставяне на всички парчета, а „площта, която парчетата заемат, когато не обръщате внимание на ориентацията или позицията им“, обяснява тя.
Тоест, когато са разпилени в началото на реденето. Затова разглеждаме всяко парче като кръга, в който се намира, а не като него самото.
И така, какъв е отговорът? Ами, всичко се свежда до този шестоъгълен модел на плочките. Ако го нарисуваме, ще видим, че всеки шестоъгълник има площ, приблизително три пъти по-голяма от тази на едно „кръгло“ парче.
Площта на един правилен шестоъгълник е 3√3/2 х d2, където d е дължината на страните. И така, колко е d? От диаграмата се вижда, че това е диаметърът на един от кръговете – или, казано на езика на пъзела, диагоналът на едно парче.
Ако приемем, че всяко парче е (приблизително) квадрат, тогава d ще бъде хипотенузата на правоъгълен триъгълник с две равни по-къси страни с дължина √(Площ на целия пъзел/брой парчета пъзел). Използвайки Питагоровата теорема, това означава, че d2 е равно на два пъти площта на пъзела, разделена на броя на парчетата.
Тогава общото необходимо пространство е равно на броя на парчетата N, умножен по площта на едно парче. Това парче, ако си спомняте, е приблизително 1/3 от площта на един шестоъгълник в тази решетъчна конфигурация – което от своя страна е равно на 3√3/2 х d2. С други думи,
Окончателният отговор: √3. „Площта на несглобения пъзел е просто √3 пъти площта на сглобения пъзел, независимо от броя на парчетата“, пишат Бонсма-Фишер в своята статия.
За да се уверят, двойката проверява формулата си върху девет пъзела, вариращи от пъзел с 9 до пъзел с 2000 части. И тя си работи перфектно: „Открихме близко съответствие между реалните измервания и нашите теоретични прогнози в пъзела с широк диапазон от площи и брой парчета“, пише двойката.
И така, сега вече знаем: ако искате да имате достатъчно място за всичките парчета пъзел, уверете се, че повърхността на масата е около 1,73 пъти по-голяма от площта на пъзела – въпреки че „ако наистина искате да разположите всичките си парчета плоско и да ви е удобно“, казва Бонсма-Фишър пред New Scientist, „масата ви трябва да е малко над два пъти по-голяма от пъзела“.
