Само за математици: Как две дисциплини си помогнаха и решиха последната теорема на Ферма

На 23 юни 1993 г. математикът Андрю Уайлс (на снимката) изнася последната от три лекции, в които подробно описва своето решение на Последната теорема на Ферма – проблем, останал нерешен в продължение на три и половина века. С това Уайлс предизвиква сензация както в математическата общност, така и в медиите.

Освен че дава задоволително решение на много стар проблем, работата му бележи знаков момент в създаването на мост между две важни, но на пръв поглед много различни области на математиката.

Историята показва, че много от най-големите пробиви в този предмет са свързани с установяването на връзки между привидно различни негови клонове. Тези мостове позволяват на математиците да пренасят проблеми от единия в другия и така да получават достъп до нови инструменти, техники и прозрения.

Чешка пощенска марка, посветена на доказателството на Уайлс

Какво представлява Последната теорема на Ферма?

Последната теорема на Ферма е подобна на Питагоровата теорема, която гласи, че страните на всеки правоъгълен триъгълник дават решение на уравнението x² + y² = z² .

Всеки триъгълник с различна големина дава различно решение и всъщност има безкрайно много решения, при които и трите числа x, y и z са цели числа – най-малкият пример е x=3, y=4 и z=5.

Последната теорема на Ферма е за това какво се случва, ако експонентата се промени на нещо по-голямо от 2. Съществуват ли целочислени решения на уравнението x³ + y³ = z³? Какво става, ако експонентата е 10, 50 или 30 000 000?

Около 1637 г. Пиер дьо Ферма твърди, че отговорът е „не“ – няма три цели положителни числа, които да са решение на xⁿ + yⁿ = zⁿ за всяко n, по-голямо от 2. Френският математик надраскал това твърдение в полето на своя екземпляр от учебник по математика от древна Гърция, заявявайки, че има чудесно доказателство, което полето е „твърде тясно, за да побере“.

Това доказателство така и не е намерено, а неговата „последна теорема“ от полето, публикувана посмъртно от сина му, тормози математиците в продължение на векове.

Търсене на решение

През следващите 356 години никой не успява да намери липсващото доказателство на Ферма, но и никой не може и сам да докаже, че той греши. Теоремата бързо се сдобива с репутацията на изключително трудна или дори невъзможна за доказване, като са представени хиляди неверни доказателства. Тя дори получава място в рекордите на Гинес като „най-трудната математическа задача“.

Това не означава, че не се отбелязва напредък. Самият Ферма я доказва за n=3 и n=4. Много други математици, сред които и Софи Жермен, допринасят с доказателства, но само за отделни стойности на n.

Това обаче не е достатъчно за математиците – те искат да се докаже, че тя е вярна за всичките безкрайно много числа по-големи от 2 едновременно. В продължение на векове обаче изглежда, че такова доказателство не може да бъде намерено.

Въпреки това към края на 20 век все повече трудове подсказват, че теорема би трябвало да е вярна. В основата на това заключение е т.нар. теорема за модулност, известно също като хипотезата на Танияма-Шимура.

Мост между два свята

Тази теорема предлага връзка между два привидно несвързани математически обекта: елиптични криви и модулни форми.

Елиптичните криви не са нито елипси, нито криви. Те са пространства с форма на поничка, в които се намират решенията на кубични уравнения – като например y² = x³ – 3x + 1.

Модулната форма е вид функция, която приема определени комплексни числа – числа с две части: реална и имагинерна част – и извежда друго комплексно число. Това, което прави тези функции специални, е, че те са силно симетрични, което означава, че има много условия за това как могат да изглеждат.

Няма причина да очакваме, че тези две понятия са свързани… но именно това предполага теорема за модуларност.

Най-накрая доказателство

Изглежда, че теоремата не казва нищо за уравнения като xⁿ + yⁿ = zⁿ . Но работата на математиците през 80-те години на миналия век показа връзка между тези нови идеи и старата теорема на Ферма.

Първо, през 1985 г. Герхард Фрей осъзнава, че ако Ферма е сгрешил и може да има решение на xⁿ + yⁿ = zⁿ за някое n, по-голямо от 2, това решение би дало особена елиптична крива. След това през 1986 г. Кенет Рибе показва, че такава крива не може да съществува във вселена, в която е вярня и теоремата за модуларност.

От тяхната работа следва, че ако математиците могат да докажат хипотезата на Танияма-Шимура, то последната теорема на Ферма трябва да е вярна.

Уайлс работи в продължение на 7 години, предимно тайно, в опит да докаже тази трудна хипотеза. До 1993 г. той вече е близо до това да докаже специален случай на теоремата за модуларност – което е всичко, от което се нуждае, за да докаже последната теорема.

През юни 1993 г. той представя работата си в поредица от лекции в Института „Исак Нютон“. Последвалата рецензия открива пропуск в доказателството му, но Уайлс и бившият му студент Ричард Тейлър работят още една година, за да запълнят този пропуск и да затвърдят последната теорема на Ферма като математическа истина.

Но какво от това…

Последиците от последната теорема на Ферма и нейното решение продължават да се отразяват в света на математиката. През 2001 г. група изследователи, сред които и Тейлър, дават пълно доказателство на теоремата за модуларност в поредица от статии, вдъхновени от работата на Уайлс. Този завършен мост между елиптичните криви и модулните форми е бил – и ще продължи да бъде – основополагащ за разбирането на математиката, дори и след последната теорема.

Работата на Уайлс е определена за „нова ера в теорията на числата“ и е в основата на важни части от съвременната математика, включително в техника за криптиране и огромни изследователски усилия, известни като Програмата Лангландс (Langlands program), която има за цел да изгради мост между две фундаментални области на математиката: алгебрична теория на числата и хармоничен анализ.

Въпреки че Уайлс работи предимно изолирано, в крайна сметка той се нуждае от помощта на колегите си, за да идентифицира и запълни празнината в първоначалното си доказателство. Днес математиката все по-често е съвместно начинание, за което свидетелстват усилията, необходими, за да се завърши доказването на теоремата.

Проблемите вече са големи и сложни и често изискват различни експертни познания.

И накрая – наистина ли Ферма е имал доказателство на последната си теорема, както твърди в поленцето? Много математици не вярват, че е така. Въпреки че Ферма е бил гениален, той понякога е грешал. Може да се приеме, че той е вярвал, че има доказателство, но е малко вероятно доказателството му да издържи на съвременната проверка.