Откриха формула, която изчислява коя цифра стои на конкретна позиция от числото Пи

Кое е любимото ви число? Този отговор има буквално безброй опции, но въпреки това съвсем нищожна част от тях са безумно по-популярни от останалиte: 7, очевидно; 13 или 666 за лошите сред нас; и √-1 за всеки, на който му харесва да е досаден многознайко.

Но има едно, което може да претендира, че е звездата сред всички числа: Пи. Коя друга математическа константа буквално се използва като еталон за изчислителна мощност или е обект на настървена надпревара кой може да изброи повече от цифрите й в правилния ред (текущият рекорд: 111 700)?

Причината пи да завладее въображението ни по този начин е, че е ирационално число – с други думи, неговото десетично разширение е безкрайно и напълно произволно. Смята се, че всяка последователност от числа, за която можете да се сетите, може да бъде намерена някъде в него, но въпреки това разпознаването на конкретна последователност от числа в него не може по никакъв начин да ни даде информация коя ще е следващата цифра след тази последователност.

Въпреки това може да звучи почти невероятно, но от около година има начин да намерим дадена цифра от пи на която позиция си искаме.

Има уловка, разбира се: начинът разчита на изчисляване на числата на Ойлер и Бернули – и двете поредици, чието пресмятане може да отнеме доста време и труд и които растат толкова бързо, че ще ни е трудно да ги съберем на екрана на калкулатора, камо ли успешно да ги манипулирате, за да намерите, например, 14-тата цифра на пи.

Но това не е точно целта на формулата: „Формулата не само е правилна, но е и елегантна и проста“, казва Саймън Плуф, математикът, който тихичко качва своето творение в интернет през януари 2022 г. „Особено красива е в двоична база. Така че, мисля, че можем да кажем, че формулата е доста готина.“

Пи в двоична база всъщност е нещо като специалитет на Плуф: неговото име все пак е П-то в алгоритъма ББП (Bailey–Borwein–Plouffe formula) – метод за изчисляване на n-тата цифра от двоичното разгъване на пи, който той открива още през 1995 г. Сега резултатът от тази формула, казва той, може да бъде разширен до всяка база: „Чрез коригиране за десетична база или за двоична база, резултатът пак ще е валиден за всички n“, отбелязва той. „Може да се направи във всяка база, която поискаме – само трябва да коригирам формулата съвсем просто.“

Подобно на формулата от 1995 г., тази също е основана на резултати, които „са известни от векове:, казва той, но въпреки това математиците рядко им обръщат внимание. Ето защо най-впечатляващото нещо в описанието й – освен самата формула – е колко е кратко: общо само 6 страници, без да се брои и краткия справочен раздел. Няма дълги изчисления или абстрактни доказателства; вместо това резултатът на Плуф разчита на способността просто да се погледне нещо старо по нов начин.

„Възможно е, защото тези числа на Бернули са много близки до пи и степени на пи“, казва той. „Формулата, която ги обединява… Мисля, че трябва да се върне към Ойлер.“

„Те са обединени толкова много, че ако изолираме пи или пи на n-та степен, имаме формула с n-то число на Бернули, и то е толкова прецизно, че ако съкратим на n-та позиция, получаваме достатъчно точност, за да се потвърди, че това е n-тият десетичен знак.“

Част от работата на Плуф

Подобно на много други трудове, които засягат тази най-любима математическа константа, малко вероятно е и този да има особено много практически приложения – в края на краищата, дори изчисленията на НАСА с абсолютно най-висока точност, за мисии като междупланетна навигация, изискват числата само до около 16-ата цифра след запетаята. Трудно е също така да си представим сценарий, при който може да се наложи да знаете, да речем, 143-тата цифра, но не и предходните.

Но както за любителите на константата, така и за математиците не става въпрос непременно за това как може да се използва формулата, а за това, за което ни напомня: идеята, че изненадващи математически открития могат да бъдат намерени навсякъде, ако просто погледнем нещата по нов начин.

Защо този резултат е останал незабелязан толкова дълго, „Признавам, че не знам“, казва Плуф пред медиите. „Но за да видите или откриете такова качество, трябва да погледнете с око, което търси точно него.“

„Информацията, която се съдържа във формулата… съдържа безкрайно количество информация“, добавя той. „Ако някой разсъждава достатъчно за това, може да открие нещо ново.“